Combinació

Col·laboració de Isabel Lozano per al capítol El codi digital

El sentit algebraic de la paraula combinació es refereix a cadascun dels grups que es poden formar amb un cert número d’elements reunint-los de dos en dos, de tres en tres, etc, de forma que cada grup es diferenciï dels demés per almenys un element.

La combinatòria és la part de l’Àlgebra que estudia la relació entre diferents objectes d’un conjunt segons el seu ordre, agrupament, o número dels mateixos i prescindint de la seva naturalesa. Aquests conjunts diferenciats donen lloc als problemes de combinatòria o coordinatòria.

En resum, la combinatòria permet, a partir d’un número finit d’elements que es combinen entre sí, obtenir un número infinit d’elements possibles. En això es basa el codi binari, base del digital, que amb l’agrupació de dos únics elements (0 i 1) pot expressar qualsevol tipus d’informació.

TIPUS D’AGRUPACIONS

Existeixen diverses formes de dur a terme agrupacions: segons si es repeteixen els seus elements o no, segons si es poden prendre tots els elements de que disposem o no i si influeix o no l’ordre de col·locació dels elements.

Les variacions sense repetició de n elements agafats de p en p es defineix com a les diferents agrupacions formades amb p elements diferents, escollint-les de entre els n elements de que disposem, considerant una variació diferent a una altra tant si difereixen en algun element com si estan situades en un ordre diferent.

Les variacions amb repetició de n elements agafats de p en p es defineixen com les diferents agrupacions formades amb p elements que poden repetir-se, escollint-los entre n elements de que disposem, considerant una variació diferent d’una altra tant si es diferencien en algun element com si estan situades en diferent ordre.

Les permutacions o ordenacions sense repetició de n elements es defineixen com les diferents formes d’endreçar tots els elements diferents, de manera que la única diferència entre elles és l’ordre de col·locació dels seus elements.

Les permutacions o ordenacions amb repetició de n elements agafats de a en a, de b en b, de c en c, etc, es donen quan als n elements existeixen elements repetits (un element apareix a vegades, un altre b vegades, etc) i es verifica que a+b+c+…=n.

Les combinacions sense repetició de n elements agafats de p en p es defineixen com a les diferents agrupacions de p elements diferents, escollint-los entre els n elements de que disposem, considerant una variació diferents a una altra si difereix en algun element (no influeix l’ordre de col·locació dels seus elements).

Les combinacions amb repetició de n elements agafats de p en p es defineixen com a les diferents agrupacions formades amb p elements que poden repetir-se, escollint-los entre els n elements de que disposem, considerant una variació diferent d’una altra només si difereixen en algun element (no influeix l’ordre de col·locació dels seus elements).

HISTÒRIA

L’origen d’aquesta important branca de les Matemàtiques es remunta al segle XVII, a les obres de B. Pascal, Traité du triangle arithmétique i de G.W. Leibniz Disertatio de arte combinatoria.

Al 1665, tres anys després de la mort del Pascal, es va publicar el seu tractat sobre el triangle aritmètic. El triangle de Pascal és un conegut patró matemàtic que de fet ja havia estat descobert a la China. D’acord amb Yunz He, el triangle de Pascal va ser desenvolupat durant la dinastia Song per un matemàtic anomenat Hue Yang. En català es coneix com a “Triangle de Tartaglia”. Es tracta d’un esquema matemàtic format per coeficients binominals.

El triangle comença es comença per un vèrtex:1. Cada número serà la suma dels números adjacents de la filera anterior, en aquest cas 0+1=1, 1+0=1, de forma que queda una figura així:

1
1 1

La següent filera serà 1(0+1), 2(1+1), 1(0+1). La següent filera serà 1(0+1), 3(1+2), 3(2+1), 1(1+0) i així fins a l’infinit.

1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1

etc…

Aquest triangle té una sèrie de propietats que el fan especialment interessant. Així, el resultat de la suma dels elements d’una filera és igual a una potència del número 2. Les fileres del triangle són simètriques. Les diagonals externes són sempre uns, la segona diagonal començant per l’exterior dóna els números naturals, la tercera diagonal dóna els nombres triangulars, la quarta diagonal dóna els nombres tetraèdrics i la cinquena diagonal dóna els nombres pentatòpics. Aquest triangle, mitjançant simples operacions de suma, permet conèixer ràpidament les probabilitats en, per exemple, el llançament d’una moneda.

El triangle de Leibniz es coneix com a triangle harmònic perquè està relacionat amb els tons musicals. Cada element d’aquest triangle és la suma dels dos elements inferiors (1/3+1/6=1/2), la diferència entre el terme que es troba immediatament a dalt i a l’esquerra i el terme que es troba al mateix nivell i a l’esquerra (1/5-1/6=1/30) i la suma d’una diagonal infinita del triangle dóna com a resultat el terme que es troba immediatament a sobre d’aquesta diagonal (1/4=1/5+1/30+1/105…). El triangle de Leibniz té aquest aspecte:

1/1
1/2 1/2
1/3 1/6 1/3
1/4 1/12 1/12 1/4
1/5 1/20 1/30 1/20 1/5
1/6 1/30 1/60 1/60 1/30 1/6

Posteriorment han estat notables les aportacions de J. Wallis, Santiago Bernoulli, Moivre i Frénicle de Bessy.

Col·laboració de Isabel Lozano per al capítol El codi digital