Fractal

Col·laboració de Maria Ustarroz per al capítol Càlculs vistosos

Un fractal és una forma geométrica sumament irregular i fragmentada, l’estructura básica de la qual es repeteix a diferents nivells de manera que cadascuna és aproximadament una versió reduïda de la figura total. Aquest concepte normalment costa d’acceptar, ja que estem acostumats a la geometria euclidiana, valdria a dir, més exactament, que després de tants anys de tradició matemàtica basada en ella només concebem el món i la nostra realitat basats en que la dimensió d’un objecte té un valor sencer. És a dir, una línia té una dimensió, un pla en té dos i un objecte amb volum en té tres. Tot i així, en la geometria fractal, els objectes poden tenir dimensions fraccionaries, com per exemple entre una i dues dimensions. Això pot costar d’assimilar, però el cert és que l’univers està ple d’aquestes estructures fractals, són l’anomenada geometría de la natura.

Aquest tipus de geometría va ser creada per Benoit Mandelbrot, el matemàtic principal responsable de l’auge de popularitat de les matemàtiques al començament dels anys setanta. Aquest científic va traçar els exemples més coneguts de la geometría fractal amb l’eina que en aquell moment començava a interesar al públic, l’ordinador. Aquest fet cosa, juntament amb el seu article “Quant mesura la costa de Gran Bretanya?”, va ajudar a que el seu treball despertés l’interès de la comunitat acadèmica.

Centrant-nos en els fractals, podem definir-los com objectes matemàtics que conformen la teoria del caos. Aquestes estructrures que es repeteixen a diferents nivells (fractal) poden ser generades per un procés recursiu o iteratiu capaç de produir altres estructures similars independentment de l’escala de visualització. Per tant, i com s’explica més adalt, els fractals són objectes amb dimensió fraccionària. Això vol dir que la seva dimensió de Hausdorff supera la seva dimensió topológica I, per tant, es situen a la dimensió fractal, característica que poseeixen tots ells. És més, cada part repetida de l’objecte té les mateixes característiques que l’objecte complet, és a dir, tenen autosimilitud.

Els fractals es poden classificar segons les seves característiques. Així, poden ser: lineals, els que es generen amb un canvi de variació de les seves escales, com serien el conjun de Cantor, el Triangle de Sierpinki o la curva de Koch. O bé, poden ser no lineals, aquells que es generen creant distorsions complexes, aquest tipus de fractals són coneguts per formar part de l’imaginari psicodèlic. Per tant, els lineals són generats a partir d’elements de la matemática tradicional i els no lineals són generats a partir de números complexes. Un dels més coneguts és el conjunt de Mandelbrot, que és generat a partir de la iteració de l’expressió complexa següent: Zn+1 = Zn2 + W on Z i W són números complexes. Tot i així, un fractal s’obtendria iterant fins a l’infinit i, per tant, el concepte de fractal perfecte només és posible de forma teórica, ja que a la pràctica és imposible.

Els fratals tenen una gran varietat d’usos fora del camp de la matemática. En primer lloc la seva aplicació va ser en computació, sobretot en el camp de la imatge. En el procés de tractament de compressió i descompressió de les imatges s’utilitza la transformació fractal per a reduir el tamany que ocupen en memoria física. De la mateixa manera, aquesta técnica també s’ha utilitzat en compressió i disseny de video i videojocs i també a l’hora de navegar per Internet.

Tot i semblar increíble els fractals també són útils en medicina. S’utilitzen per estudiar el comportament i la propagació dels virus i la ramificació de determinats tumors malignes. Fins i tot, en el diagnosticament de l’osteoporòsi tant en el seu desenvolupament com en la predicció de la seva aparició. També en l’estudi del funcionament cervell i de la seva anatomia, ja que té estructura fractal de dimensió més gran que 2. I últimament, s’han estat aplicant a les investigacions sobre el sistema de regeneració de teixits i òrgans.

Òbviament els fractals també s’utilitzen en geografia tant en la mesura de distancies terrestres com en el càlcul del camí més proper o adequat entre dos punts utilitzant la corba de Koch emprat en la exploració espacial.

Apart de les aplicacions en ciencia els fractals també han sigut utilitzats en l’art. En la creació d’imatges hi ha un gran nombre de programes informàtics basats en fórmules fractals que fan la seva representació gràfica, com per exemple: Apophysis o Ultra Fractal. També existeix software per a la creació de composicions musicals i de sons. És a dir, podem crear una obra musical estructurant-la de forma fractal tant a nivell de tempo com de melodía, però també podem crear sons artificials a partir de fórmules fractals.

Per útlim, el concepte de fractal ha saltat a les ciències socials. S’han trobat exemples d’objectes fractals a l’economia, també s’aplica la Teoria del Caos en l’estudi del creixement de les societats, ja que tot i no poder aplicar una equació perquè els pilars d’una societat són més elàstics que unes simples coordenades ideals, el que sí que es dóna és el que la teoria anomena “sensibilitat extrema als estats inicials d’un procés” que poden repercutir en dràstics canvis passat un temps de la situació o fet inicial. Totes aquestes aplicacions i avenços en camps tan amplis i diferents es dóna per la naturalesa dels fractals i el camí que han obert per compendre millor la realitat que ens envolta.

Col·laboració de Maria Ustarroz per al capítol Càlculs vistosos