Edu3.cat

 
De vegades, fem servir números molt grans. Per exemple, ens referim als sis mil milions d’habitants que hi ha a la Terra, o als cent mil milions d’euros del pressupost d’un estat… Però hi ha números molt, molt més grans.

NÚMEROS ENORMES

Diu una llegenda que el joc dels escacs va agradar tant a un rei de l’Índia que, en prova de gratitud, va oferir al seu inventor el que volgués.

L’inventor va demanar blat: un gra en el primer quadre del taulell, el doble en el segon, o sigui dos grans, el doble en el tercer, o sigui quatre, després vuit, setze… i així successivament.

Al rei li va semblar, en principi, una quantitat modesta, però, en realitat, consistia en 10 seguit de 20 zeros grans de blat. Això és, més o menys, 400 vegades la producció mundial actual.

És un número molt gran però, avui dia, relativament comú entre les ciències naturals. Per exemple, se sap que a la Via Làctia hi ha unes 10 elevat a 11 estrelles. Tantes com humans hi ha hagut. Com va escriure Arthur Clarke per cada persona que ha viscut hi ha una estrella que brilla.

En el cos d’una persona hi ha, normalment, uns 10 elevat a 12 bacteris, la majoria a l’intestí. I en el cervell hi ha 10 elevat a 14 connexions neuronals.

Es calcula que, a tot el planeta, hi ha uns 10 elevat a 18, o sigui, un trilió d’insectes. I que totes les platges reunides suposarien uns 10 elevat a 23 grans de sorra.

Tota la matèria de la Terra està formada per uns 10 elevat a 50 àtoms. I tota la matèria de l’Univers per uns 10 elevat a 75 àtoms.

A partir d’aquí, tot és qüestió d’imaginació. 10 elevat a 100 és el número anomenat googol. Va inspirar el nom del famós buscador d’internet, Google. És un número molt gran, però ben fàcil d’escriure.

Hi ha números molt més grans que només tenen representació electrònica. Per exemple, el número contingut en el disc dur d’un ordinador. És un número d’uns mil milions de dígits. Cada vegada que fem alguna acció en l’ordinador, canvia.

Però hi ha números que no es poden escriure ni amb l’ajut electrònic. Per exemple, el googolplex: 10 elevat a un googol. És tan gran que si des de l’inici de l’Univers un ordinador s’hagués dedicat a escriure’l, avui dia només n’hauria escrit una mínima part.

Més enllà d’aquests números hi ha un concepte que, des de molt antic, era objecte d’estudi de filòsofs: l’infinit. Al segle XVII va començar a ser-ho, també, de matemàtics.

El primer a considerar l’infinit com un número va ser l’anglès John Wallis. A Wallis es deu la idea de representar l’infinit amb el símbol característic. Està inspirat en aquesta corba, la lemniscata.

El primer matemàtic que va estudiar els números infinits en el sentit modern va ser, al segle XIX, el txec Bernhard Bolzano.

Bolzano va mostrar que els números infinits es poden considerar com una mena d’extensió dels números reals. Per tant, amb aquests números es poden fer operacions aritmètiques.

Per exemple, es poden sumar: la suma d’infinits és un altre infinit. Es poden multiplicar… També es poden combinar amb números reals.

Un resultat singular: tot número dividit per infinit és zero.

Bolzano va deduir que hi ha el mateix infinit de números parells que de números senars. Això el va portar a afirmar que tots els infinits són iguals, que tots tenen la mateixa mida.

Però s’equivocava: hi ha infinits més grans que altres. Ho va demostrar Georg Cantor, el matemàtic alemany.

Cantor va analitzar els números i va trobar-hi diferències. Hi ha un primer infinit, l’anomenat aleph-zero. Després hi ha l’aleph-1, més gran, l’aleph-2, l’aleph-3, etc.

Pels matemàtics, l’infinit és, bàsicament, allò que és igual a qualsevol de les seves parts.

Pels pintors és, per exemple, una cinta de Moebius, com aquestes d’Escher.