Un passatemps màgic

Col·laboració de Eulàlia Rosa per al capítol Números qualificats

Un quadrat màgic és la disposició d’una sèrie de nombres enters, sovint correlatius, en una taula o quadrat, de manera que, sumant en sentit vertical, horitzontal o diagonal, sempre obtenim el mateix número, anomenat constant màgica. Hi ha moltes classes de quadrats màgics, principalment es classifiquen segons el seu grau o nombre de files i columnes. El mínim per aconseguir aquestes propietats singulars és 3, ja que no és possible fer un quadrat màgic de 2×2 que tingui com a constant un nombre enter. Quant més elevat és el grau del quadrat màgic, més possibilitats diferents de construir-lo podem trobar.

També es poden classificar segons la seva constant màgica i el significat especial que es pugui atorgar al nombre. És el cas del quadrat màgic de la Sagrada Família, que suma 33, edat de Jesús en el moment de morir. En canvi, en el quadrat màgic que apareix a l’obra de Durero, Melancolia, la particularitat no està tant en la constant màgica sinó en la posició central de les xifres 1514, l’any de realització de l’obra i també l’any de la mort de la mare de l’artista. Aquest és un quadrat especial, anomenat diabòlic. En aquest tipus de quadrats, a part d’obtenir la constant en diagonal, vertical i horitzontal, també ho podem fer seguint traçats alternatius, com ara la suma de les puntes, la suma de les caselles de la creu central o bé la suma de les diagonals truncades. És evident que, quantes més maneres possibles de sumar la constant contingui el quadrat, més màgic es considerarà i més difícil resultarà la seva construcció.

L’origen dels quadrats màgics es desconeix, però si que sabem que els xinesos i els hindús ja els feien servir 2200 anys abans de Crist. Diu la llegenda que, a la Xina, hi va haver un període de terribles inundacions. Els rius es van desbordar i van arrasar les collites. La gent del poble, espantada, van intentar fer ofrenes al déu del riu Lo per tal de calmar la seva ira i retornar a la normalitat, però cada cop que ho feien, apareixia una tortuga que rondava l’ofrena sense acceptar-la. Finalment, l’emperador Shu, va adonar-se que la tortuga tenia unes marques molt peculiars a la closca: es tractava d’un quadrat màgic. L’emperador va ordenar que es lliuressin exactament 15 ofrenes al déu Lo, ja que aquest era el nombre màgic que indicava la closca de la tortuga. Així ho van fer, i les aigües van retornar a la normalitat.

El primer text escrit on es recull una imatge d’un quadrat màgic és d’origen àrab i data del s.VIII. Ara bé, l’autor del llibre l’atribueix al filòsof i matemàtic grec Apoloni de Tiana, que va viure al s.I i va pertànyer a l’escola pitagòrica. Podem afirmar, doncs, que tan la cultura musulmana com la grega coneixien les propietats dels quadrats màgics. En general, se’ls atribuïen facultats màgiques i astrològiques. Es considerava que portaven bona sort i per això es gravaven en tota classe de talismans.

La seva reintroducció al món occidental s’atribueix a Emanuel Moschopoulos cap al s.XIV, autor d’un manuscrit en el que s’indica com construir alguns tipus de quadrats màgics. Cornelius Agrippa, en la seva obra De oculta philosophia libri tres, del s. XVI, relaciona els quadrats màgics amb els planetes, com ja feia l’astrologia hindú. Segons el llibre, el quadrat d’ordre 3×3 estava consagrat a Saturn, el de 4×4 a Júpiter, el d’ordre 5 a Mart, el d’ordre 6 al Sol, el 7 a Venus, el 8 a Mercuri i el 9 a la Lluna. També s’ha relacionat els quadrats màgics amb la Càbala, substituint els nombres per lletres del alfabet hebreu.

Els quadrats màgics tenen una llarga història i una profunda càrrega simbòlica, però no s’ha trobat mai una aplicació pràctica a les seves singulars propietats matemàtiques. Grans científics i matemàtics com ara Fermat, Pascal, Leibnitz, La Hire, o Euler no van poder escapar de l’embruix dels quadrats màgics, i van elaborar algunes fórmules per a la seva construcció i resolució. Evidentment, no hi ha cap indici científic de que els quadrats màgics portin bona sort o endevinin el futur. El que sí es cert es que resulten molt atractius i entretinguts com a passatemps matemàtic. Una bona mostra d’això són els famosos sudokus, que sense arribar a complir totes les normes de construcció d’un quadrat màgic, parteixen d’una base molt similar.

Col·laboració de Eulàlia Rosa per al capítol Números qualificats