Números reals

 

Col·laboració de Celina Navarro per al capítol Números notables

En matemàtiques, els números reals són el conjunt format pels números racionals, ja siguin enters o decimals, i irracionals, aquells que no es poden expressar amb una fracció i tenen decimals il·limitats. Per tant, són racionals tots aquells números que es poden associar a una magnitud física continua. Una altre manera d’explicar-los seria que tots els números reals es poden pensar com a punts d’una línia recta infinita.

La recta real conté un punt O que és anomenat origen i que s’identifica amb el números zero. Tots els punts de la recta és calculen segons la distància que tenen amb el punt d’origen establint sempre primer la relació que hi ha entre aquest punt i el punt I, que correspondria al número 1. Si un punt es troba a la dreta de O es tracta d’un número positiu mentre que si es troba a l’esquerra és negatiu. Aquest sistema ens permet representar qualsevol número real en una recta.

La continuïtat dels números reals ha estat sempre en el centre de l’anàlisi i està relacionat tant amb les matemàtiques com amb la filosofia. La continuïtat vol dir que els números reals formen una entitat on no hi ha cap salt i alguns filòsofs extrapolen aquesta característica a tots els fenòmens naturals. La història de la continuïtat comença al segle V a.C. en l’època grega amb els atomistes que creuen que la natura no té salts i que està creada per uns àtoms indivisibles. Un aspecte important és l’infinit que sempre s’ha tingut en compte en l’explicació de la continuïtat.

El concepte de nombre real va aparèixer per primera vegada a les publicacions de Georg Cantor sobre els fonaments de la teoria dels conjunts al 1883. Aquesta necessitat d’ajuntar tots el números racionals i irracionals va ser deguda a l’avenç en la investigació dels números imaginaris, que són els considerats no reals. Dins del complex global de números, sovint anotats amb una C, tenim els números reals, representats amb una R, i els imaginaris.

Els egipcis i babilonis ja utilitzaven fraccions per a la resolució de problemes pràctics tot i que no va ser fins als avenços de l’època grega que es va tenir en compte l’aspecte filosòfic del número i les seves característiques diferenciadores. Els pitagòrics van buscar proporcions harmòniques a la natura i van considerar que tot era números i tots els elements es relacionaven d’una forma racional. Tot i això, ells mateixos van descobrir els números irracionals i la seva lògica de naturalesa harmònica va entrar en dubte. Per tant, van ser els primers en començar a dividir els números en categories que a través dels segles anirien augmentant i prenent una forma sòlida i precisa.

Al segle XIX es va fer la construcció i sistematització dels números reals tal i com la coneixem actualment per part de dos matemàtics europeus: Georg Cantor, que com hem dit és el que ho va publicar primer, i Richard Dedekind. Els dos matemàtics van aconseguir aquesta sintetització gràcies a tots els avenços previs en la matèria que, com hem dit, van des de l’època grega fins a matemàtics com Descartes, Newton, Leibnizm, Euler i altres que van anar introduint noves explicacions i classificacions.

Dins dels números reals trobem diferents subdivisions i tipologies. Com ja hem comentat la primera gran divisió és entre els nombres racionals, representats per una Q, i els irracionals. La divisió continua dintre dels racionals ja que diferenciem entre els enters i els fraccionaris o decimals, i aquests es poden dividir entre naturals (N) o negatius. També hi ha dos tipus de números irracionals: els algebraics i els transcendents. Aquestes classificacions es van fer per la necessitat de tenir una base rigorosa i precisa per a la definició dels números reals ja que abans hi havia hagut problemes lògics de mala interpretació perquè s’utilitzaven termes com petit, limitat o il·limitat per a descriure’ls.

Les operacions que es poden fer amb números reals són àmplies però hi ha dos excepcions importants. Per una banda, no existeixen arrels parells de números negatius, raó que va portar al descobriment de l’existeixen dels números imaginaris. Per l’altra, no existeixen divisions entre zero, ja que no té lògica dividir un número entre el no res. Aquestes dues restriccions tenen repercussions en les matemàtiques avançades i s’ha intentat trobar la solució a través dels números imaginaris.

Col·laboració de Celina Navarro per al capítol Números notables