Números naturals

Col·laboració de Juan-Gabriel Servera per al capítol Números notables

Els números naturals son qualsevol de la successió 0,1,2,3… Son sempre números positius i sense part decimal. El seu nom fa referència al seu origen utilitari en el terreny de l’empíria. Son els primers números que van aparèixer i responen a la necessitat creada amb la societat de contar les coses. Els números naturals no van ser necessaris fins que no es van tenir que enumerar els objectes de la natura, i això no es va donar fins que les societats primitives van començar a instaurar la propietat privada. Quan tot era de tots i en abundància careixien de sentit els números, per que no hi havia res que valgués la pena contar. No va ser fins el moment que es va separar ho de un de ho dels demes que van fer-se necessaris els números naturals, per tal de saber quant tenia cadascú i si a algú li faltava quelcom. Es normal per tant que en un principi no existís el número zero, ja que ho que no es tenia era absurd intentar-lo contar. De fet hi ha matemàtics, com ara els que es dediquen a la Teoria de Números, que es mantenen reacis a reconèixer el zero com a part dels números naturals. Mentres que gent especialitzada en Teoria de conjunts o Lògica mantenen una postura diametralment oposada. Deixant de banda a aquesta qüestió que respon més a les diferents implicacions teòriques que envolten la qüestió que no pas a la natura de zero, el conjunt dels números naturals pot ser descrit de manera unívoca gracies als axiomes de Peano (qui si que considerava el zero dintre dels números naturals).

Dels nou axiomes de Peano son només cinc els que acostumen a presentar-se, ja que son aquests els que defineixen el conjunt dels números naturals i son els que presentarem aquí amb notació entenedora:

– Existeix un element, 0, que pertany al conjunt dels nombres naturals.
– Cada número natural a te un subsegüent , denotat per a + 1
– No existeixen números naturals que tinguin 0 com a subsegüent
– Si dos números naturals son diferents els seus subsegüents també ho son, es a dir: si a ≤ b, llavors a + 1 ≠ b + 1.
– Una propietat que s’acompleixi per 0 i per el subsegüent de qualsevol número per el qual també s’acompleixi aquesta propietat, s’acompleix per tots els números naturals.

La teoria de conjunts acostuma a definir cada número natural com el conjunt de tots el números naturals anteriors a ell. Això permet que establir una relació d’ordre entre els elements del conjunt, tot i que un conjunt es per natura un agregat d’elements desordenats.

Els elements naturals juntament amb la suma formen un semigrup commutatiu. Alhora amb l’operació de producte també s’estructuren com a semigrup commutatiu.

El infinit del conjunt dels números naturals rep el nom d’infinit numerable. Qualsevol altre conjunt que pugui ser posat en correspondència bijectiva, es a dir element a element, compartint cardinalitat, amb el dels números reals, rep el nom de infinit numerable. Per exemple, el conjunt de les potencies successives d’un número x, essent x un número diferent de 0, 1 i -1, es un conjunt infinit numerable, igual que també ho son el conjunt dels números sencers i dels racionals.

En el conjunt dels números naturals existeix una relació d’ordre total, es a dir, hi ha una relació d’ordre que permet que dos elements del conjunt puguin sempre ser comparats. Llavors a ≤ b només si existeix un altre número natural que acompleixi la igualtat a + c = b. A més els números naturals tenen ho que s’anomena un bon ordre, es a dir, en qualsevol conjunt de números naturals hi ha un element mínim. Per exemple, en el conjunt dels números parells l’element mínim seria el 2.

Les funcions dels números naturals son fonamentalment dos. Una es la de descriure la posició que ocupa un determinat element en una seqüència ordenada concreta, aquesta seria la funció ordinal. L’altre seria la cardinal que consisteix en especificar la mesura de conjunts finits.

Col·laboració de Juan-Gabriel Servera per al capítol Números notables