Número pi
Col·laboració de Teresa Codinach per al capítol Càlculs grecs
L’any 1906, l’historiador en matemàtiques Heiberg trobà un Palimpsest conservat a Istambul dels segles XII-XIV que incloïa diverses obres d’Arquimedes, entre les quals hi havia “El Mètode”, tractat on el científic i matemàtic de la Grècia Clàssica explica com calculava els seus teoremes sense recórrer a procediments mecànics no rigorosos.
“El Mètode” fou editat pel seu descobridor l’any 1910 i és de rellevant importància perquè Arquimedes hi plasmà els seus estudis sobre com calcular la relació entre el perímetre d’un cercle i el seu diàmetre és a dir, com calcular el “número pi”.
L’estudiós grec, però, no fou el primer en descobrir que el perímetre d’un cercle i el seu diàmetre estan relacionats ja que, actulament, se sap que els egipcis, cap el 1600 a.C, ja havien comprovat la relació entre la longitud de la circumferència i el seu diàmetre i, a més, també havien estudiat i descobert la relació entre l’àrea del cercle i el diàmetre del quadrat. El valor que els egipcis assignaven al número pi era 3’1605 i els seus estudis i dades que els van portar a aquest nombre es recullen al Papir Egipci de Rhind.
Els Babilonis usaven el valor 3’125 per designar pi i també a l’antiga Xina es donaren molts valors per pi: 3’1447, 3’10…
A la Grècia Clàssica és quan la correspondència entre el diàmetre i la longitud d’una circumferència començà a ser un gran enigma que es volia resoldre a tot cost, era una intriga, un repte, poder-ne extreure el nombre de decimals exactes. Van ser molts els estudiosos que intentaren trobar aquesta relació.
Primerament, el grec Antiphon va incriure un quadrat dins d’un cercle, després un octàgon i, finalment, ideà un càlcul per multiplicar la quantitat de costats fins el moment en què el polígon s’ajustés quasi totalment al cercle. El matemàtic Euclides investigà un sistema per doblar el nombre de costats dels polígons regulars i demostrar la convergència del procediment.
Arquimedes, finalment, amplià tots aquests estudis i provà que l’àrea d’un cercle és la meitat del producte del seu radi per la circumferència i que la relació entre el perímetre i el diàmetre està compresa entre 3’14084 i 3’14285 (una aproximació de 223 / 71 < π < 22 / 7) fet que només dóna un error de 0’0002 respecte al valor que s’otorga actualment als decimals del nombre pi.
Per aconseguir arribar a aquesta xifra, Arquimedes optà per un procediment d’allò més enginyós ja que a l’Època Clàssica no es gaudia dels avantatges de l’àlgebra o la trigonometria, i va haver de fer totes les derivacions dels seus càlculs de manera purament geomètrica. El matemàtic grec no volia que les operacions que donessin aquest nombre fossin complicades però sempre havien de seguir un ordre d’allò més rigorós.
Primer de tot, Arquimedes va inscriure un triangle equilàter a un cercle, seguidament, va dividir en dues parts iguals cadascun dels arcs del cercle i va unir els seus extrems obtenint així un hexàgon regular; el seu perímetre seria sis vegades el radi, ja que el costat de l'hexàgon és justament igual al radi del cercle. Repetint la divisió dels arcs, l'hexàgon es convertiria en un polígon regular de dotze costats i així succesivament fins arribar a un polígon de 96 costats. A continuació va calcular el perímetre d'aquest polígon, trobant que aquest perímetre u96 era major que 310/71·d (d segueix sent el diàmetre de la circumferència). També el perímetre P del cercle havia de ser amb tota seguretat major que 310/71·d.
Per sota d'aquest valor ja no podia escapar-se el nombre pi. A continuaicó, Arquimedes va circumscriure al cercle una sèrie anàloga de polígons, arribant de la mateixa manera al de 96 costats. Com que cada polígon contenia el cercle en el seu interior, el perímetre d'aquest polígon havia de ser superior al del cercle. D'aquesta manera va trobar el límit superior de pi: 31/7·d. Per tant, fent una mitjana aritmètica va trobar un valor de pi amb quatre decimals exactes que són els primers quatre valors de pi que encara avui coneixem: 3,1415.
Ptolomeu, al segle II d.C usà polígons de fins a 720 costats i una circumferència de 60 unitats de radi per aproximar-se més al valor exacte del nombre pi i arribà a 3’1416.
Hi ha uns documents indis, els Siddhantas de l’any 380 d.C on s’atribueix el valor exacte de pi: 3’1416. Posteriorment, matemàtics com Van Ceulen , Vieta, Snell i Huyghens (segle XVI) van continuar la recerca de més i més decimals pel nombre pi.
Al segle XVII es començaren a usar series, productes infinits, fraccions contínues i els càlculs diferencials de Leibnitz i Newton (que tingué un paper molt important i rellevant en aquestes investigacions) però totes aquestes noves formes de calcular eren massa lentes i complexes. Va ser llavors que John Machin (1706) trobà la solució amb una serie de convergència ràpida i que no implicava càlculs amb arrels o expressions massa complexes i així aconseguí 100 decimals, tots ells calculats manualment.
L’any 1748, Leonhard Euler publicà el símbol del número pi al llibre "Introduction in Alaysin Infinitorum" tot i que alguns matemàtics com ara William Jones (1706) ja l’usaven amb anterioritat.
Posteriorment, Lambert (1728-1777) demostrà que pi és un nombre irracional i Lindemann dictà que també era un nombre transcendental (que pi no és la solució de cap equació polinòmica amb coeficients sencers) i això demostrà que la quadratura del cercle és impossible (no hi ha cap regla ni cap compàs que puguin construir un quadrat amb una àrea igual a la d’un cercle donat).
William Shanks calculà 707 decimals de pi (527 dels quals eren correctes).
Amb l’ajuda d’ordinadors i màquines de càlcul la quantitat de decimals pel nombre pi van anar augmentant i es va arribar a la conclusió que el que calia per tal d’aconseguir quantitats enormes era trobar algoritmes més eficaços.
Actualment, el récord de càlcul de decimals pel nombre pi és de Yasumasa Kanada i Daisuke Takahashi, l’aconseguiren el 1999 amb un ordinador. Els primers decimals de pi són 3’1415926535 i se’n saben unes mil xifres.
Col·laboració de Teresa Codinach per al capítol Càlculs grecs