Logaritme

Col·laboració de Mercé Montcusí per al capítol Calculadores

Els logaritmes s’atribueixen a John Napier, qui va publicar el seu treball “Descripció de la meravellosa regla dels logaritmes” a 1614. Tot i això, es diu que Joost Bürgi (1552-1632) els va descubrir sis anys abans però, en no publicar els seus resultats, en va perdre la prioritat. Napier va estudiar les successions de les potències d’un número i va adonar-se que els productes i quocients de dos números d’aquestes successions són iguals a les potències de les sumes o diferències dels exponents d’aquests mateixos números, és a dir, el que és el mateix, an · am = a(n+m) . Però aquestes successions no esdevenien útils pel càlcul perquè entre dues potències successives hi havia un buit molt ample i la interpolació que havia de fer era poc precisa. Per aconseguir que els termes de la progressió geomètrica formada per les potències senceres d’un número fossin més pròximes, Napier va prendre una xifra molt propera a 1 (0,9999999 = 1-10-7). Per evitar l’ús de decimals va multiplicar, llavors, totes les potències per 107. D’aquesta manera, qualsevol número a = 107(1-10-7)b . b seria el logaritme d’a.

En un principi, Napier va anomenar a aquests números “artificials”, però més tard es va decidir per la unió de les dues paraules gregues logos (raó) i arithmos (número). Aquests sistema de càlcul va ser acceptat amb molta rapidesa. Entre els més entusiastes es trobava l’anglés Henry Briggs qui va proposar algunes modificacions sobre l’estudi de Napier. Briggs, en comptes de prendre un número molt proper a 1, va partir de la igualtat log 10 = 1 i després va anar calculant altres logaritmes prenent les arrels successivament (l’arrel quadrada de 10 és 3,1622, llavors el logaritme de 3,1622 és 2).

La invenció dels logaritmes, doncs, respón a l’intent d’alleugerir els càlculs complexos que suposava l’estudi de problemes trigonomètrics i ha acabat sent tot un veritable fonament matemàtic que es va estendre gràcies al físic alemany Kepler. No obstant això, fins a l’aparició de les calculadores i ordinadors es va fer imprescindible el seu càlcul amb l’ús de taules logarítmiques.

A 1617 Napier va crear un sistema de càlcul conegut com les “barilles de Napier” que facilitava la multiplicació i la divisió intentant mecanitzar els càlculs logarítmics. Ens estem referint a un dels precedents de les màquines modernes de calcular. De fet, aquest sistema es va mecanitzar mitjançant l’ús d’una regla que utilitzava les distàncies dels números als seus logaritmes. El matemàtic anglés William Oughtred (1574-1660) va profunditzar-ne la mecanització però amb dues regles: “la regla de càlcul”.

Avui en dia, les calculadores han facilitat encara més els càlculs logarítmics però no per això deixen de ser una part important del temari educatiu.

Els logaritmes de base 10 s’utilitzen amb molta freqüència i reben el nom de decimals. D’altra banda, els que tenen com a base el número e (e = 2,7182818285…) s’anomenen neperians o naturals en memòria del mateix Napier i es denoten amb el signe ln.

Els logaritmes no només van ser útils pels astrònoms del moment sinó que van esdevenir clau pel naixement de la física matemàtica. La seva aplicació al càlcul multiplicatiu va donar peu, com ja s’ha dit, a l’aparició de les “regles de càlcul”. Posteriorment, i seguint l’evolució, Leibniz i Newton introduiran el càlcul diferencial i integral (a partir dels logaritmes “neperians”) que serà resolt per un altre geni, Euler (“Institutions de calcul integral”, 1668) qui va contribuir a tancar molts debats sobre els logaritmes i a desenvolupar-los.

Col·laboració de Mercé Montcusí per al capítol Calculadores