Espiral de Fibonacci

Col·laboració de Ignacio Portela per al capítol El número d’or

L’espiral de Fibonacci és una variació especial de l’espiral logarítmica, és a dir, una classe de corba que parteix d’un centre, i que va progressivament allunnyant-se-hi a mesura que gira al voltant del punt central.

També és coneguda com Espiral de Durero, en honor al pintor Albert Durero, que en 1525, tres anys abans de morir, publica una obra titulada Instrucció sobre la mesura amb regla i compàs de figures planes i sòlides. En la qual pretén ensenyar als artistes, pintors i matemàtics de l’època diversos mètodes per a traçar diverses figures geomètriques. En aquesta obra Durero mostra com traçar amb regla i compàs algunes espirals i entre elles una que serà coneguda pel seu mateix nom, l’espiral de Durero. Que segueix, però, la successió descoberta per Leonardo de Pisa “Fibonacci” en el segle XIII. Nom amb el qual coneixem l’espiral avui dia. Encara així, la influència de Durero amb les seves espirals inspiraria a multitud d’artistes, com Leonardo da Vinci en la seva creació proporcionada de “L’home de Vitrubi” que segueix aquesta figura, o Dalí en la seva obra “Leda Atòmica”.

Aquesta espiral es construeix en relació a aquesta “Successió” o “Sèrie de Fibonacci” 1,1,2,3,5,8,13,21,34… (caracteritzada perquè els dos primers termes són uns i a partir d’ells cada terme és la suma de l’anterior) consisteix que els quocients de dos termes consecutius (1/1, 2/1, 3/2, 5/3, 8/5, 13/8…) es van acostant cada vegada més al valor del nombre auri de manera que en l’infinit convergiria a aquest nombre. La seva explicació matemàtica seria:

(lim(n->inf) fn-1/fn=Phi)

Per altra banda, el nombre auri o “Número d’or” és un nombre irracional que es troba darrere de moltes formes naturals (per exemple, el quocient de les longituds de les falanges dels dits de les mans). El seu valor és Phi=1,618… i correspon al quocient d’una diagonal d’un pentàgon entre un costat Phi=(1+sqrt(5))/2 . El nombre que se suposa, darrere de l’espiral que defineix tant el creixement de les fulles, com el desenvolupament de les obres de Le Corbusier, que va basar el seu sistema de proporcions humanes (el modulor) en aquesta figura, seguint diversos quocients que són el nombre auri, com són l’alçada d’una persona entre l’alçada a la qual està el llombrígol del sòl, o l’alçada de la persona amb el braç aixecat entre l’alçada a la qual està el braç posat en horitzontal. A més, aquesta espiral presumiblement defineix la dinàmica dels forats negres i determina l’estructura dels cristalls, al seguir la coneguda comunament com “Divina Proporció”

A l’hora de representar visualment l’espiral de Fibonacci, aquesta sorgeix òbviament, com a resultat de seguir la sèrie de Fibonacci i connectant els cantons oposats dels quadrats de mesura igual a cada element de la sèrie.

Es pot procedir des de dues figures bàsiques a l’hora de construir aquesta espiral: El triangle auri o el rectangle auri. Així com, per altra banda, del pentàgon regular, on existeix la mateixa proporció. En aquest cas, la relació entre els seus costats i diagonals també està definida pel nombre Phi, i en el seu interior es troba el triangle auri construït per dos segments de proporció igual a Phi, de la que es començaria a crear l’espiral.

Si dividim ambdues figures, rectangle i triangle, obtenint-se progressivament triangles i rectangles auris més i més petits, en el seu interior es va configurant una mateixa figura. Una espiral que manté, i és, símbol de Phi. L’espiral de Fibonacci.

És pot construir també una espiral a partir d’una successió de rectangles d’or i quadrats, tot traçant quarts de circumferència dins cada quadrat i tangents a ell. Aquesta espiral s’aproxima a l’espiral d’or de centre en la intersecció de les dues diagonals i d’equació polar.

De la mateixa manera, es pot construir, a partir d’una successió de triangles d’or, una espiral aproximada a la vertadera d’or triangular, també espiral logarítmica però ara d’equació polar o igualment, amb rectangles d’or successius es pot construir una espiral aproximada, que no és exactament una espiral de Fibonacci, però que tè un procediment força semblant, mitjançant arcs de circumferència que s’aproximen amb la seva forma a l’espiral d’or però que, en canvi és una espiral logarítmica. Una espiral logarítmica és una classe de corba espiral que apareix freqüentment a la natura. Descrita per Descartes, posteriorment fou investigada per Jakob Bernoulli, el qual l’anomenà Spira mirabilis, espiral meravellosa.

Tot i que són dos espirals pràcticament idèntiques, ja que l’espiral de Fibonacci és una variació de la logarítmica com ja hem comentat al principi d’aquest article, no s’haurien de confondre ja que la logarítmica no manté la mateixa proporció ni convergiria en Phi en el infinit, ja que la relació entre les seves parts és diferent. L’espiral de Fibonacci és gairebé una espiral logarítmica de salt angular 90 graus i raó geomètrica del nombre d’or. L’única diferència, inapreciable a petita escala, és que els centres d’aquests arcs van saltant al seu torn d’un vèrtex a un altre dels rectangles.

A més a més, aquesta representació en espiral presenta propietats curioses com, per exemple, que és el quocient entre la diagonal i un costat del pentàgon regular, el que fa aparèixer l’estrella de cinc puntes.

Aquesta relació entre nombres i la figura de l’espiral es troba en tot l’entorn natural. Això ho torna a relacionar amb la bellesa quant a harmonia, repetició i equilibri, doncs en moltes de les coses que en la naturalesa estan disposades en espiral, com les llavors d’un girasol o les escates d’una pinya, es dóna una propietat que no deixa de ser sorprenent. Si les observem, presenten espirals en dos sentits, el de les agulles del rellotge i el contrari. Es compleix que, si contem el nombre d’espirals que hi ha en un sentit i les quals hi ha en l’altre, ambdós nombres seran dos termes consecutius de la successió de Fibonacci.

Col·laboració de Ignacio Portela per al capítol El número d’or