Càlcul de pi

Col·laboració de Juan-Gabriel Servera per al capítol Números notables

A l’antiguitat es va pensar que donat que en augmentar el diàmetre d’un cercle s’augmentava també la longitud de la circumferència devia existir un valor constant que mantingues aquesta proporció. Aquest valor que no es coneixia amb exactitud sinó que es sabia de la seva constància es el que nosaltres entenem com el número pi π.

Ja a la Bíblia a (I Reyes 7, 23) i a (II Cròniques 4, 2), en parlar del temple de Salomó, que es va construir al 950 A.C. on s’aproxima el valor de π a 3. Tot i que mesopotàmics i egipcis ja havien estat més precisos amb les seves aproximacions. Els primers l’havien apropat a √10= 3,162. Per altra banda els egipcis el papirus de Rhind, datat al 1650 a.C, situaven, de forma bastant similar, pi en 22/7=3,16.

Arquimedes, mitjançant uns càlculs a partir de la inscripció de un cercle dintre d’un polígon regular i d’un altre polígon similar dintre del cercle va arribar a aproximar π = 3,1418. Després de l’esforç realitzat per Arquimedes pocs avançaments es van fer sobre el número π, tot i que es va anar filant cada cop més prim. Citarem a Ptolomeu, qui al 150 a.C. va establir pi com 3,1416.

Amb el renaixement van arribar nous aires i amb l’humanisme imperant l’ interes per les matemàtiques va anar retornant a occident en haver passat la fosca edat mitjana. Van començar així a aparèixer formules al voltant de π, com pot ser la de Wallis (1616-1703). Segons aquesta formula 2 / π = (1.3.3.5.5.7. …) / (2.2.4.4.6.6. …). Un altre famosa fórmula de l’ època es la descoberta per Leibniz (1646-1716). Tot i que actualment es creu que ja havia estat descoberta per James Gregory (1638-1675), aquesta formula a pasta a la historia lligada al nom del pensador de Leipzig. Es las següent, π / 4 = 1 – 1 / 3 + 1 / 5 – 1 / 7 + … Aquestes formules no tingueren tant valor per la seva utilitat com per el fet de lligar un concepte sorgit de la geometria amb expressions purament aritmètiques, reforçant el lligam existent entre ambdues disciplines.

A partir però d’aquestes formules es va anar precisant cada cop més, al 1699 Sharp va fer servir la formula Leibniz/Gregory per obtenir una precisió de 71 dígits. 1701 Machin va efectuar una millora en la formula i va aconseguir 100 dígits. Així es va anar progressant fins que al 1873 Shanks va calcular 707 posicions. El problema va estar en que un petit error que va passar inadvertit en la en la posició 528 i que va fer que els continuadors de la tasca anessin errats durant bastant temps. DeMorgan va trobar que misteriosament en els dígits següents de pi presentaven una estranya carència del número 7. Això va dur a pensar en algun tipus de estranyà nova pauta. No va ser fins 1945 que Ferguson es va adonar de que Shanks havia comes un error, i en 1949, quan es va utilitzar una computadora per calcular 2000 posicions es va comprovar que els números 7 seguien apareixent amb la mateixa irregularitat que en les 527 primeres posicions, amb ho que el misteri es va donar per tancat.

A la mateixa època de Shanks Lindemann, a partir de la demostració de 1761 de Lambert de la irracionalitat del número π , va demostrar que la irracionalitat d’aquest era d’un tipus diferent a la de √2. π es un número transcendental, es a dir que π no pot ser mai solució a cap equació polinòmica amb coeficients sencers. Aquest fet va finalitzar amb la llarga recerca de la quadratura del cercle que havia turmentat a matemàtics i místics durant segles, ja que es impossible la construcció d’un quadrat amb area igual a la d’un cercle donat prèviament.

Amb l’arribada de les computadores el càlcul de π ha arribat a nivells de precisió inimaginables per els antics, tot i que s’ha perdut part de l’encant i el misteri que sempre havia acompanyat la qüestió. Actualment ja no te sentit pràctic continuar avançant posicions de un número que mai podrem arribar a conèixer del tot i es més interessant per els programes informàtics que es desenvolupen per aquesta ta tasca que no per un interès científic concret.

Col·laboració de Juan-Gabriel Servera per al capítol Números notables